Lagrangeformalismus

Warum soll man Lagrangegleichungen in der theoretischen Mechanik behandeln und wie wird eine Lagrangegleichung 1. Art gelöst?

Zuerst eine kurze Begründung warum man sich mit dem Lagrangeformalismus auseinandersetzen sollte. Und ich finde man sollte es nicht immer damit begründen, weil es im Studium so vorgegeben ist.

Es war Leonhard Euler (1707-1783) und Jeseph-Louis Lagrange (1736-1813) die einen alten philosophischen Streit zwischen Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibnitz (1646-1716) über die Grundprinzipien der Physik beendeten. Newton erklärte das Weltgeschehen nach dem Kausalitäsprinzip: Alles, was geschieht, hat eine Ursache. Hingegen sein Wiedersacher Leibnitz die Auffassung vertrat: Alles, was geschieht, strebt ein Ziel an. In der Physik bzw. Mathematik drückte sich der Streit etwa so aus:

• „ein freier Massepunkt folgt in jedem Moment einer geraden Linie“ (weil nach Newton sein Impuls sich nicht ändert, ();

• „ein freier Massepunkt verbindet Anfangspunkt x₁ und Endpunkt x₂ seiner Bahn durch die kürzeste Linie“ (im Sinne einer Minimierung des Integrals über die Bogenlänge, genommen entlang irgendwelcher Verbindungslinien).

Euler sah diese Aussagen als äquivalent an. In der Praxis stelle sich heraus, das Newtons Gesetz (in Eulerscher Formulierung) zu beschreiben in einfachen Fällen sehr gut anwendbar ist, z. B. bei der Berechnung von Federn, Pendel, Kreisel, Himmelsmechanik, und dergleichen. Wobei es in komplexeren Anwendungen sehr schwer werden kann die Kräfte . Die Lagrange-Mechanik löst nun dieses Problem, indem man die Formulierung eines Problems auf der Ebene der Integrale beginnt.

Ich finde, wenn ich einen „kleinen“ Teil der Welt (aus der Sicht der klassischen Physik) erklären möchte, sollte ich mich auch mit dieser, zugegebenermaßen nicht einfachen Mathematik des Lagrangeformalismus beschäftigen.

(Quellen: Prof. Dr. P. H. Richter: Skript zur Theoretischen Klassischen Mechanik, SS 2006 und die Jahreszahlen aus Wikipedia)

Jetzt noch einmal eine Begründung aus der Praxis. Soll der Verlauf einer Münze in einen „Spendensammler“, siehe Bild, berechnet werden so wird der mathematische Aufwand in der Newtonschen Mechanik zu groß. Hier vereinfachen die Lagrangegleichungen die Berechnungen des Bewegungsablaufes und die der Zwangskräfte wesentlich. Eine ähnliche Aufgabe wird von Friedhelm Kuypers in: Klassische Mechanik behandelt.

 

 

Lagrangegleichungen 1. Art

Und nun dazu, wie man eine Lagrangegleichung 1. Art löst. Im Allgemeinen kann man Aufgaben nach dem unten aufgeführten Schema zu lösen. Leider finden sich in den theoretischen Mechanikbüchern nur sehr „grob“ gerechnete Beispielaufgaben. Daher habe ich mich bemüht eine Aufgabe mal so aufzuschreiben, das man sie tatsächlich „lesen“ kann und nicht darüber „brüten“ muss. Dafür sollten, meiner Ansicht nach, die Übungsaufgaben dienen.

Lagrangegleichungen 1. Art können nach folgenden Schema gelöst werden:

1. Formulierung der Zwangsbedingungen
2. Aufstellung der Lagrangegleichungen
3. Elimination der λ_α
4. Lösung der Bewegungsgleichungen
5. Bestimmung der Integrationskonstanten
6. Bestimmung der Zwangskräfte

Beispiel: Auf einem Abhang gleitet, im Schwerefeld der Erde, reibungsfrei eine Kiste runter.

Das Beispiel habe ich aus Fließbach, Torsten: Mechanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik 1, 5.Aufl.2007. Dort ist diese Beispielaufgabe zu finden, allerdings mit größeren Rechenschritten und knapper beschrieben.

Die gerechnete Beispielaufgabe gibt es hier als PDF-Datei. (in Kürze)